Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；

（Ⅱ）求点D到平面ACE的距离.

Answer 1

（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCE（Ⅱ）点D到平面ACE的距离是.

解析:

（Ⅰ）因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE.                                 （2分）

因为平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，

从而BC⊥AE.                                                               （5分）

于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE.                                   （6分）

（Ⅱ）方法一：连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，

所以点D与点B到平面ACE的距离相等.

因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离.                         （8分）

因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.

又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形.

因为AB＝2，所以BE＝.                                         （9分）

在Rt△CBE中，.                                     （10分）

所以.

故点D到平面ACE的距离是.                                             （12分）

方法二：过点E作EG⊥AB，垂足为G，因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD.

因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形，从而G为AB的中点.又AB＝2，所以EG＝１.                                                （8分）

因为AE⊥平面BCE ，所以AE⊥EC.

又AE＝BE＝，.                         （10分）

设点D到平面ACE的距离为ｈ，因为Ｖ_Ｄ－ACE＝V_E－ACD，则.

所以，故点D到平面ACE的距离是.   （12分）