Question

已知正实数x，y满足（x-1）（y-1）=1，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）²-λ（x+y）+4＞0恒成立，则实数λ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意可判断x-1＞0，y-1＞0，从而可由基本不等式得x+y≥4，利用换元法令u=x+y，u≥4，从而化对任意满足条件的x，y，都有（x+y）²-λ（x+y）+4＞0恒成立为对任意u≥4，都有u²-λu+4＞0恒成立，令f（u）=u²-λu+4，化恒成立问题为最值问题．

解答： 解：∵x＞0，y＞0；
又∵（x-1）（y-1）=1，
∴x-1＞0，y-1＞0，
故（x-1）（y-1）≤（

x-1+y-1

2

）²，
从而解得，x+y≥4，
（当且仅当x=y=2时，等号成立）
令u=x+y，u≥4，
则对任意满足条件的x，y，都有（x+y）²-λ（x+y）+4＞0恒成立可化为
对任意u≥4，都有u²-λu+4＞0恒成立，
令f（u）=u²-λu+4，
①当λ≤8时，

λ

2

≤4，
f（u）=u²-λu+4在[4，+∞）上是增函数，
故对任意u≥4，都有u²-λu+4＞0恒成立可化为
f（4）=16-4λ+4＞0，
解得，λ＜5；
②当λ＞8时，

λ

2

＞4，
f（u）=u²-λu+4在[4，+∞）上先减后增，
故对任意u≥4，都有u²-λu+4＞0恒成立可化为
f（

λ

2

）=

λ2

4

-λ•

λ

2

+4＞0，
解得，-4＜λ＜4；
综上所述，λ＜5．
故答案为：λ＜5．

点评：本题考查了基本不等式的应用，换元法及恒成立问题化为最值问题的处理方法，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．