Question

已知函数f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinwx），其中ω＞0，又函数f（x）的图象的任意两中心对称点间的最小距离为

3π

2

．
（1）求ω的值；
（2）设α是第一象限角，且f(

3α

2

+

π

2

)=

23

26

，求

sin(α+ π 4 )

cos(4π+2α)

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数的图象的对称性求出函数的周期，进一步确定ω的值．
（2）利用（1）的结论，先根据函数关系式f(

3α

2

+

π

2

)=

23

26

，求出cosα=

5

13

sinα=

12

13

，再求出结果．

解答： 解：（1）函数f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinωx），其中w＞0，又函数f（x）的图象的任意两中心对称点间的最小距离为

3π

2

．
则：函数的最小正周期为：3π，
f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinωx）=

1+cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，
由于ω＞0，
所以：2ω=

2π

3π

，ω=

1

3

．
（2）f（x）=cosωx•（cosωx+

3

sinωx）=

1+cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

，
整理得：f(x)=sin(

2

3

x+

π

6

)+

1

2

，
由于α是第一象限角，f(

3α

2

+

π

2

)=

23

26

，
则：f(

3α

2

+

π

2

)=cosα+

1

2

=

23

26

，
解得：cosα=

5

13

，sinα=

12

13

，

sin(α+ π 4 )

cos(4π+2α)

=

2

2

•

1

sinα-cosα

=

13 2

14

．

点评：本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的周期，三角函数关系式的恒等变换，函数的求值．属于基础题型．