Question

已知函数f(x)=sin(x+

π

2

)，g(x)=cos(x-

π

2

)，设h（x）=f（x）g（x），则下列说法不正确的是（　　）

• A、?x∈R，f(x+

  π

  2

  )=g(x)
• B、?x∈R，f(x-

  π

  2

  )=g(x)
• C、?x∈R，h（-x）=h（x）
• D、?x∈R，h（x+π）=h（x）

Answer 1

分析：利用诱导公式、二倍角公式进行化简f（x），g（x），h（x）是解决本题的关键．再根据特称命题、全称命题的正误判断法判断各选项的正确与否．

解答：解：对于A，f(x+

π

2

)=-sinx，g(x)=sinx，若f(x+

π

2

)=g(x)，只需sinx=0，即x=kπ，k∈Z，故?x∈R，f(x+

π

2

)=g(x)，即A正确；
对于B，f(x-

π

2

)=sinx=g(x)，即?x∈R，f(x-

π

2

)=g(x)，故B正确；
对于C，D，可以先将h（x）进行转化化简，得到h（x）=f（x）g（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x，由于该函数为奇函数，故C不正确，
该函数的最小正周期为π，故D正确．
故选C．

点评：本题考查三角函数的诱导公式、二倍角公式的运用，考查学生的转化与化归能力，考查学生解决问题的等价变形意识，学生需要弄清?和?这两个量词的本质和含义，属于三角和逻辑用语结合的小综合题．