Question

15．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$．

（1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在（0，1]上是单调递减函数、在[1，+∞）上是单调递增函数，并求出函数f（x）在（0，+∞）上的最小值；
（3）画出函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在定义域上的图象．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式可得函数的定义域，再根据函数的奇偶性的定义可得它为奇函数．
（2）利用函数的单调性的定义判断函数的单调性．
（3）根据函数的解析式，作出它的图象．

解答 解：（1）对于函数函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，显然，它的定义域（-∞，0）∪（0，+∞）．
再根据f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）在定义域内恒成立，可得它为奇函数．
（2）设0＜x₁＜x₂≤1，可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$），
由题设可得 x₁-x₂＜0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜0，
∴（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函数f（x）在（0，1]上是单调递减函数．
设1≤x₁＜x₂，可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$），
由题设可得 x₁-x₂＜0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＞0，
∴（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$）＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数f（x）在在[1，+∞）上是单调递增函数．
（3）函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在定义域上的图象如图所示：

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断，函数的图象，属于中档题．