Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x+1|，x∈[-2，0]}\\{2f（x-2），x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$
（1）求函数f（x）在[-2，4]上的解析式；
（2）若方程f（x）=x+a在区间[-2，4]内有3个等实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的解析式，分别求出0≤x≤2以及2≤x≤4时f（x）的解析式，
即可写出f（x）在[-2，4]上的解析式；
（2）画出函数y=f（x）和y=x+a的图象，利用y=f（x）和y=x+a在区间[-2，4]内有3个不同的交点，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x+1|，x∈[-2，0]}\\{2f（x-2），x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$，
当0≤x≤2时，-2≤x-2≤0，
∴f（x）=2f（x-2）=2（1-|x-2+1|）=2-2|x-1|；
当2≤x≤4时，0≤x-2≤2，
∴f（x）=2f（x-2）=2（2-2|x-2-1|）=4-4|x-3|；
∴函数f（x）在[-2，4]上的解析式为
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x+1|，x∈[-2，0]}\\{2-2|x-1|，x∈（0，2]}\\{4-4|x-3|，x∈（2，4]}\end{array}\right.$；
（2）由（1）知，f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4；
设y=f（x）和y=x+a，则方程f（x）=x+a在区间[-2，4]内有3个不等实根，
等价为函数y=f（x）和y=x+a在区间[-2，4]内有3个不同的交点；
作出函数f（x）和y=x+a的图象，如图所示：
当直线经过点A（2，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y=x+a为y=x-2，
当直线经过点O（0，0）时，两个图象有4个交点，此时直线y=x+a为y=x，
当直线经过点B（3，4）和C（1，2）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+a为y=x+1，
∴要使方程f（x）=x+a在区间[-2，4]内有3个不等实根，
则实数a的取值范围是a=1或-2＜a＜0．

点评 本题考查了分段函数的应用问题，也考查了函数的零点与方程根的应用问题，是综合性题目．