Question

11．求与圆C：x²+（y+2）²=3相切，且在x轴和y轴上截距相等的直线方程．

Answer 1

分析 可设两坐标轴上截距相等（在坐标轴上截距不为0）的直线方程为x+y=a，与圆的方程x²+（y+2）²=3联立，消去y得：2y²+（4-2a）y+a²-1=0，利用△=0即可求得a的值，从而可求得直线方程；另外需要考虑坐标轴上截距都为0的情况．

解答 解：设两坐标轴上截距相等（在坐标轴上截距不为0）的直线l方程为x+y=a，
则由题意与圆C：x²+（y+2）²=3联立，消去y得：2y²+（4-2a）y+a²-1=0，
∵l与圆x²+（y+2）²=3相切，
∴△=（4-2a）²-4×2（a²-1）=0，
解得a=2±$\sqrt{10}$，
∴l的方程为：x+y-2±$\sqrt{10}$=0；
当坐标轴上截距都为0时，由图可知y=0与该圆相切；
故答案为：y=0或x+y-2±$\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，易错点在于忽略坐截距都为0时相切的情况，属于中档题．