Question

2．在直角坐标xOy中，${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t+5}\end{array}}\right.（t$为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线${C_2}：{ρ^2}+2{ρ^2}{sin^2}θ-3=0$．
（1）求C₁的普通方程与C₂的参数方程；
（2）根据（1）中你得到的方程，求曲线C₂上任意一点P到C₁的最短距离，并确定取得最短距离时P点的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）消去参数t即可得到普通方程；利用sin²α+cos²α=1即可得出其参数方程C₂；
（2）设$P（\sqrt{3}cosα，sinα）（α∈[0，2π））$，根据点到直线的距离公式确定d，从而得到点P的坐标．

解答 解：（1）由${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t+5}\end{array}}\right.（t$为参数）消去参数t，得
C₁：x-y+5=0，
曲线C₂的普通方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，则
${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α$为参数）；
（2）设$P（\sqrt{3}cosα，sinα）（α∈[0，2π））$，点P到直线x-y+5=0的距离$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosα-sinα+5}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2cos（α+\frac{π}{6}）+5}|}}{{\sqrt{2}}}≥\frac{3}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
当$cos（α+\frac{π}{6}）=-1，α=\frac{5π}{6}$时，即$P（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$时，最短距离为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．