Question

10．如图，二面角α-AB-β的大小为60⁰，棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则直线AB与CD所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$
• B． $\frac{{\sqrt{17}}}{17}$
• C． $\frac{{\sqrt{221}}}{17}$
• D． $\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，求出CD=2$\sqrt{17}$，在平面α内过B作BE⊥AB，过C作CE∥AB，交BE于点E，连结DE，则∠DCE是直线AB与CD所成角（或所成角的补角），由此能求出直线AB与CD所成角的余弦值．

解答 解：二面角α-AB-β的大小为60⁰，棱上有A、B两点，
直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，
AB=4，AC=6，BD=8，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{CD}$²=${\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}$+2|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{BD}$|•cos120°=36+16+64-2×6×8×$\frac{1}{2}$=68，
∴CD=2$\sqrt{17}$，
在平面α内过B作BE⊥AB，过C作CE∥AB，交BE于点E，连结DE，
则四边形ABEC是长方形，∠DBC=60°，BE=AC=6，CE=AB=4，
且∠DCE是直线AB与CD所成角（或所成角的补角），
∴DE=$\sqrt{B{D}^{2}+B{E}^{2}-2×BD×BE×cos60°}$=$\sqrt{64+36-2×8×6×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴cos∠DCE=$\frac{C{E}^{2}+C{D}^{2}-D{E}^{2}}{2×CE×CD}$=$\frac{16+68-52}{2×4×2\sqrt{17}}$=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
∴直线AB与CD所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审，注意空间思维能力的培养．