Question

19．“a=2”是“直线（a²-a）x+y=0和直线2x+y+1=0互相平行”的充分不必要条件，若曲线y²=xy+2x+k通过点（a，-a）（a∈R），则k的取值范围是$[-\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 ①若直线（a²-a）x+y=0和直线2x+y+1=0互相平行，则-（a²-a）=-2，解得a即可判断出结论．
②若曲线y²=xy+2x+k通过点（a，-a）（a∈R），则a²=-a²+2a+k，可得k=a²-2a=2$（a-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}$，利用二次函数的单调性即可得出范围．

解答 解：①若直线（a²-a）x+y=0和直线2x+y+1=0互相平行，
则-（a²-a）=-2，解得：a=2或-1．
∴“a=2”是“直线（a²-a）x+y=0和直线2x+y+1=0互相平行”的充分不必要条件．
②若曲线y²=xy+2x+k通过点（a，-a）（a∈R），则a²=-a²+2a+k，可得k=a²-2a=2$（a-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}$≥$-\frac{1}{2}$．
则k的取值范围是$[-\frac{1}{2}，+∞）$．
故答案为：充分不必要，$[-\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性、相互平行的直线斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．