Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（ωx+$\frac{2π}{3}$），-$\sqrt{3}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小正周期为π．
（1）求f（x）在[-π，π]上的单调增区间；
（2）若存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用余弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间，即可求函数f（x）在[-π，π]上的单调递增区间；
（2）由题意：存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|，等价于f（x-$\frac{π}{4}$）_max＞|m-2|成立，只需要求f（x-$\frac{π}{4}$）_max的值即可通过解不等式得到m的取值的范围．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（ωx+$\frac{2π}{3}$），-$\sqrt{3}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4cosωxsin（ωx+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$
化简得：f（x）=4cosωx（sinωxcos$\frac{2π}{3}$+cosωxsin$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$
=-2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$=-sin2ωx+$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cos2ωx-$\sqrt{3}$=2cos（2ωx+$\frac{π}{6}$）．
∵最小正周期为π，即T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得ω=1
∴f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
当x∈[-π，π]时，则：2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{11π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]
由余弦函数图象可知：[-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{12}$]和[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]单调增区间．
（2）由题意：存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|成立，等价于f（x-$\frac{π}{4}$）_max＞|m-2|成立，
∵f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
∴f（x-$\frac{π}{4}$）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）
又∵x∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
那么：f（x-$\frac{π}{4}$）_max=2
所以有：|m-2|＜2，解得：0＜m＜4
故m的取值范围是（0，4）．

点评 本题主要考查了三角函数的化简能力以及余弦函数性质的运用，值域的求法来解决恒成立的问题．属于中档题．