Question

6．根据下列条件求圆的方程：
（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0 上的圆的方程；
（2）求以O（0，0），A（2，0），B（0，4）为顶点的三角形OAB外接圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为-1求出直线AB垂直平分线的斜率，根据垂径定理得到圆心在弦AB的垂直平分线上，又圆心在已知直线上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集，得到圆心M的坐标，再利用两点间的距离公式求出|AM|的长，即为圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可；
（2）设以O（0，0），A（2，0），B（0，4）为顶点的三角形OAB外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，分别把点O，A，B代入，能求出三角形OAB外接圆的方程．

解答 解：∵A（5，2），B（3，2），
∴直线AB的斜率为$\frac{2-2}{5-3}$=0，
∴直线AB垂直平分线与x轴垂直，其方程为：x=4，
与直线2x-y-3=0联立解得：x=4，y=5，即所求圆的圆心M坐标为（4，5），
又所求圆的半径r=|AM|=$\sqrt{（5-4）^{2}+（2-5）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
则所求圆的方程为（x-4）²+（y-5）²=10 （6分）
（2）设以O（0，0），A（2，0），B（0，4）为顶点的三角形OAB
外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{4+2D+F=0}\\{16+4E+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=-2，E=-4，F=0，
∴三角形OAB外接圆的方程为x²+y²-2x-4y=0．（12分）

点评 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：直线斜率的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，两点间的距离公式，以及两直线的交点坐标求法，其中根据垂径定理得出弦AB的垂直平分线过圆心是解本题的关键．