Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，求cos（x+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 利用平面向量的数量积的坐标运算及辅助角公式可得sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，再利用二倍角的余弦公式即可求得cos（x+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，
∴$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（x+$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=1-2×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查平面向量的数量积的坐标运算及辅助角公式、二倍角的余弦公式的综合应用，属于中档题．