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    已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（
    13
    ）=1．
    （1）求f（1）与f（3）；  
    （2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
    分析：（1）取x=y=1，结合题中等式解出f（1）=0．再令1=3×
    1
    3
    代入，算出f（3）+f（
    1
    3
    ）=0，可得f（3）=-1；
    （2）由2=1+1结合1=f（
    1
    3
    ）算出f（
    1
    9
    ）=2，从而将原不等式化成f[x（2-x）]＜f（
    1
    9
    ），结合函数的单调性与定义域建立关于x的不等式组，解之即可得出x的取值范围．
    解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
    ∴f（1）=0．
    因此，f（1）=f（3×
    1
    3
    ）=f（3）+f（
    1
    3
    ）=0，可得f（3）=-f（
    1
    3
    ）=-1；
    （2）∵2=1+1=f（
    1
    3
    ）+f（
    1
    3
    ）=f（
    1
    3
    ×
    1
    3
    ）=f（
    1
    9
    ）
    ∴不等式f（x）+f（2-x）＜2可化为f[x（2-x）]＜f（
    1
    9
    ），
    由f（x）为（0，+∞）上的减函数，得
    x＞0
    2-x＞0
    x(2-x)＞
    1
    9
    ，解之得1-
    2
    		2
    3
    ＜x＜1+
    2
    		2
    3
    ，
    ∴x的取值范围为（1-
    2
    		2
    3
    ，1+
    2
    		2
    3
    ）．
    点评：本题给出抽象函数，研究函数的特殊的函数值并依此解关于x的不等式．着重考查了函数的奇偶性和单调性及其相互关系等知识，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    2x+2-x
    2
    ，g（x）=
    2x-2-x
    2
    ，
    （1）计算：[f（1）]2-[g（1）]2；
    （2）证明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知函数f（x）=x+
    a
    x
    的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+
    		2
    2
    ．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
    （1）求a的值．
    （2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
    （3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M(x1，y1)，N(x2，y2)    是f（x）图象上的两点，横坐标为
    1
    2
    的点P满足2
    OP
    =
    OM
    +
    ON
    （O为坐标原点）．
    （Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
    （Ⅱ）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
    （Ⅲ）已知an=
    1
    6
    ，                          n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    ，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）图象上的两点，且x1+x2=1．
    （1）求证：y1+y2为定值；
    （2）若Sn=f（
    1
    n
    ）+f（
    2
    n
    ）+…+f（
    n-1
    n
    ）（n∈N*，N≥2），求Sn；
    （3）在（2）的条件下，若an=
    1
    6
     ，n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    （n∈N*），Tn为数列{an}的前n项和．求Tn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sin（2x-
    π
    6
    ），g（x）=sin（2x+
    π
    3
    ），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

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