Question

在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列．
（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：
三项式的2次系数列是_________ ；
三项式的3次系数列是_________ ．
（Ⅱ）二项式的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下

①当时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数列的数阵表；
②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：，类似的请用三项式的次系数表示（无须证明）；
（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示．

Answer 1

（Ⅰ）三项式的2次系数列是1,2,3,2,1；三项式的3此系数列是1,3,6,7,6,3,1.
（Ⅱ）①三项式的次系数的数阵表如下：

②观察得：.
（Ⅲ）.

解析试题分析：（Ⅰ）由，求得2次系数列．同理根据，求得3次系数列．（Ⅱ）①②如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．
（Ⅲ）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示
试题解析：（Ⅰ）三项式的2次系数列是1,2,3,2,1；三项式的3此系数列是1,3,6,7,6,3,1.
（Ⅱ）①三项式的次系数的数阵表如下：

②观察得：.
（Ⅲ）因为，由（Ⅱ）②得，
，
，
，……，
所以，又，
所以由得，.
所以有，，，……，
所以将个式子累加得.
又，所以.
考点：二项式系数的性质．