Question

2．设数列{a_n}的首项${a_1}=\frac{5}{4}$，且an+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{a}_{n}，n为偶数}\\{{a}_{n}+\frac{1}{4}，n为奇数}\end{array}\right.$，记${b_n}={a_{2n-1}}-\frac{1}{4}$，
（1）求b₁，b₂；
（2）求证{b_n}为等比数列；
（3）设数列c_n=a_2n-1•（b_n-1），是否存在正整数k，使得对一切n∈N^*，都有c_n≥c_k恒成立，若存在求出c_k及k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由${a_1}=\frac{5}{4}$，且a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{a}_{n}，n为偶数}\\{{a}_{n}+\frac{1}{4}，n为奇数}\end{array}\right.$，记${b_n}={a_{2n-1}}-\frac{1}{4}$，可得b₁=a₁-$\frac{1}{4}$，a₂=${a}_{1}+\frac{1}{4}$，b₂=a₃-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}{a}_{2}$-$\frac{1}{4}$．
（2）b₁=1≠0，利用$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2n+1}}-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}{a_{2n}}-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}（{a_{2n-1}}+\frac{1}{4}）-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}{a_{2n-1}}-\frac{1}{8}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}$，即可证明．
（3）${c_n}=（{b_n}+\frac{1}{4}）•（{b_n}-1）={（{b_n}-\frac{3}{8}）^2}-\frac{25}{64}$，b_n∈（0，1]，设b_n=t∈（0，1]，$y={（{t-\frac{3}{8}}）^2}-\frac{25}{64}$，当n=2时，当n=3时，即可得出．

解答 解：（1）由${a_1}=\frac{5}{4}$，且a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{a}_{n}，n为偶数}\\{{a}_{n}+\frac{1}{4}，n为奇数}\end{array}\right.$，记${b_n}={a_{2n-1}}-\frac{1}{4}$，
∴b₁=a₁-$\frac{1}{4}$=1，a₂=${a}_{1}+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$，b₂=a₃-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}{a}_{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$．（2分）
（2）b₁=1≠0，
$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2n+1}}-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}{a_{2n}}-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}（{a_{2n-1}}+\frac{1}{4}）-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}{a_{2n-1}}-\frac{1}{8}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}$，
∴{b_n}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．  …（6分）
（3）${c_n}=（{b_n}+\frac{1}{4}）•（{b_n}-1）={（{b_n}-\frac{3}{8}）^2}-\frac{25}{64}$，b_n∈（0，1]，…（8分）
设b_n=t∈（0，1]，$y={（{t-\frac{3}{8}}）^2}-\frac{25}{64}$，
当n=2时，$t=\frac{1}{2}$，$y=-\frac{3}{8}$；
当n=3时，$t=\frac{1}{4}$，$y=-\frac{3}{8}$；…（10分）
故存在k=2，3使得${c_k}=-\frac{3}{8}$满足题意．…（12分）

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．