Question

17．已知抛物线y²=2x，P是抛物线的动弦AB的中点．
（1）当P的坐标为（2，3）时，求直线AB的方程；
（2）当直线AB的斜率为1时，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用中点坐标公式和点差法，及直线的斜率公式，计算即可得到所求直线方程；
（2）设AB方程为y=x+b，代入抛物线方程，运用判别式大于0，韦达定理，求出中点和斜率，可得垂直平分线的方程，令y=0，进而得到所求范围．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意知y₁+y₂=6，由$\left\{{\begin{array}{l}{y_1^2=2{x_1}}\\{y_2^2=2{x_2}}\end{array}}\right.$可得$y_1^2-y_2^2=2{x_1}-2{x_2}$，
变形得$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{2}{{{y_1}+{y_2}}}$，则${k_{AB}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$．
所以直线AB的方程为$y-3=\frac{1}{3}（x-2）$，即x-3y+7=0，
（2）由题意可设直线AB的方程为y=x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2x}\\{y=x+b}\end{array}}\right.$可得x²+2（b-1）x+b²=0．
依题意得△=4-8b＞0，所以$b＜\frac{1}{2}$，
易知x₁+x₂=2（1-b），y₁+y₂=（x₁+b）+（x₂+b）=2，
故AB的中点P的坐标为（1-b，1），
所以线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-（x-1+b），
即x+y+b-2=0，其在x轴上的截距为2-b．
因为$b＜\frac{1}{2}$，所以$2-b＞\frac{3}{2}$，
所以截距的取值范围为$（\frac{3}{2}，+∞）$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查点差法和直线的斜率和方程的求法，属于中档题．