Question

6．已知数列{a_n}满足递推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求证：数列{a_n+1}为等比数列．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+1及a₄=15知a₄=2a₃+1，解得：a₃，同理得a₂，a₁．
（2）由a_n=2a_n-1+1知a_n+1=2a_n-1+2a_n+1=2（a_n-1+1），即可证明．

解答 （1）解：（6分）由a_n=2a_n-1+1及a₄=15知a₄=2a₃+1，
解得：a₃=7，同理得a₂=3，a₁=1．
（2）证明：（6分）由a_n=2a_n-1+1知a_n+1=2a_n-1+2a_n+1=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项以2为公比的等比数列．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．