Question

在等腰△ABC中，已知AB=AC，B（-1，0），边AC的中点为D（2，0）．
（1）若点A（2，

3

），求△ABC外接圆M的方程；
（2）若点N在（1）中所求的圆M上，求线段BN在直线l：x+y+4=0上的投影EF长的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）由于BD⊥AC，D为AC的中点，M在BD上设圆M：（x-a）²+y²=r²，代入（-1，0），（2，

3

）解出a，r即可；
（2）根据题意可求得BE的方程，设出直线NF的方程，当EF取得最大值时，直线NF与圆（x-1）²+y²=4相切．利用点到直线的距离求得b，则直线NF的方程可得．进而根据EF长的最大值是点B到NF的距离，答案可得．

解答： 解：（1）由于BD⊥AC，D为AC的中点，M在BD上
设圆M：（x-a）²+y²=r²，
则代入（-1，0），（2，

3

）得，

(-1-a)2+0=r2 (2-a)2+3=r2

解得a=1，r=2，
则△ABC外接圆M的方程为：（x-1）²+y²=4；
（2）由条件，BE⊥l，
易得BE：x-y+1=0．
设NF：x-y+b=0，
当EF取得最大值时，
直线NF与圆（x-1）²+y²=4相切．
设M（1，0），由

|1-0+b|

2

=2，得b=-1+2

2

（舍去）或b=-1-2

2

．
∴NF：x-y-1-2

2

=0．
∴EF_max等于点B到NF的距离
d=

|-1-0-2 2 -1|

2

=2+

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆的综合问题．考查了学生运用解析几何的知识解决问题的能力．