Question

已知椭圆

x2

2

+

y2

4

=1两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足

PF1

•

PF2

=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证：直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据

PF1

•

PF2

=1，用坐标表示，结合点P（x，y）在曲线椭圆

x2

2

+

y2

4

=1上，即可求得点P的坐标；
（2）设出BP的直线方程与椭圆方程联立，从而可求A、B的坐标，进而可得AB的斜率为定值；
（3）设AB的直线方程：y=

2

x+m，与椭圆方程联立

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，从而可确定-2

2

＜m＜2

2

，求出P到AB的距离，进而可表示△PAB面积，利用基本不等式可求△PAB面积的最大值．

解答：（1）解：由题可得F1(0，

2

)，F2(0-

2

)，
设P₀（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）
则

PF1

=(-x0，

2

-y0)，

PF2

=(-x0，-

2

-y0)（2分）
∴

PF1

•

PF2

=

x

2 0

-(2-

y

2 0

)=1，
∵点P（x₀，y₀）在曲线上，则

x 2 0

2

+

y 2 0

4

=1，
∴

x

2 0

=

4- y 2 0

2

，从而

4- y 2 0

2

-(2-

y

2 0

)=1，得y0=

2

．
则点P的坐标为(1，

2

)．      （5分）
（2）证明：由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k（k＞0），（6分）
则BP的直线方程为：y-

2

=k(x-1)．
由

y- 2 =k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

得(2+k2)x2+2k(

2

-k)x+(

2

-k)2-4=0，
设B（x_B，y_B），则1+xB=

2k(k- 2 )

2+k2

，xB=

2k(k- 2 )

2+k2

-1=

k2-2 2 k-2

2+k2

，
同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

，则xA-xB=

4 2 k

2+k2

，yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)=

8k

2+k2

．（9分）
所以AB的斜率kAB=

yA-yB

xA-xB

=

2

为定值． （10分）
（3）解：设AB的直线方程：y=

2

x+m．
由

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=(2

2

m)2-16(m2-4)＞0，得-2

2

＜m＜2

2

P到AB的距离为d=

|m|

3

，（12分）
则S△PAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

(4- 1 2 m2)•3

•

|m|

3

=

1 8 m2(-m2+8)

≤

1 8 ( m2-m2+8 2 )2

=

2

．
当且仅当m=±2∈(-2

2

，2

2

)取等号
∴△PAB面积的最大值为

2

．（14分）

点评：本题以椭圆的标准方程及向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积计算及利用基本不等式求最值，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行解题．