Question

已知等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设a≠1，n≥2，记．
（i）证明：；
（ii）若，求n的所有可能取值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a，知a+a²+a³=3a，a≠0，由此能求出a．
（II）（i）a_n=（-2）ⁿ，=，由=．能够证明．
（ii）由（i）知：，即，由此能求出n的所有可能取值．
解答：解：（I）∵等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a，
∴a+a²+a³=3a，a≠0，
∴a²+a-2=0，解得a=1，或a=-2，
故a_n=1，或．
（II）（i）a_n=（-2）ⁿ，=，
∵
=
=
=
=
=．
∴．
（ii）由（i）知：
，
即，
若n为奇数，则，舍去
若n为偶数，则，
即2ⁿ-1＜60，2ⁿ＜61＜64=2⁶，得n＜6，
故n=2或n=4．
点评：本题考查数列的综合应用，综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．