Question

如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，
圆柱OQ的底面圆的半径OA=2，侧面积为8

3

π，∠AOP=120°．
（1）求证：AG⊥BD；
（2）求二面角P-AG-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：（1）由题设条件知可通过证明AG⊥面DBP证AG⊥BD；
（2）作辅助线，如图，找出∠PGB是二面角P-AG-B的平面角，由于其所在的三角形各边已知，且是一个直角三角形，故易求．
解法二：建立如图的空间坐标系，给出图中各点的坐标
（1）求出AG，BD两线段对应的向量的坐标，验证其内积为0即可得出两直线是垂直的；
（2）求出两个平面的法向量，然后求出两法向量夹角的余弦值的约对值即是二面角P-AG-B的平面角的余弦值．

解答：解：（1）（解法一）：由题意可知8

3

π=2×2π×AD，
解得AD=2

3

，
在△AOP中，AP=

22+22-2×2×2×cos120°

，
∴AD=AP，
又∵G是DP的中点，
∴AG⊥DP．①
∵AB为圆O的直径，
∴AP⊥BP．
由已知知DA⊥面ABP，
∴DA⊥BP，
∴BP⊥面DAP．分
∴BP⊥AG．②
∴由①②可知：AG⊥面DBP，
∴AG⊥BD．
（2）由（1）知：AG⊥面DBP，
∴AG⊥BG，AG⊥PG，
∴∠PGB是二面角P-AG-B的平面角．
PG=

1

2

PD=

1

3

×

2

AP=

6

，
BP=OP=2，∠BPG=90°，．
∴BG=

PG2+BP2

=

10

．
cos∠PGB=

PG

BG

=

6

10

=

15

5

．
（解法二）：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知8

3

π=2×2π×AD，
解得AD=2

3

，
则A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2

3

），P（

3

，3，0），
∵G是DP的中点，
∴可求得G（

3

2

，

3

2

，

3

）．
（1）

BP

=（

3

，-1，0），

BD

=（0，-4，2

3

），，
∴

AG

=（

3

2

，

3

2

，

3

）．
∵

AG

•

BP

=（

3

2

，

3

2

，

3

）•（0，-4，2

3

）=0，
∴AG⊥BD
（2）由（1）知，）

BP

=（

3

，-1，0），

AG

=（

3

2

，

3

2

，

3

）.

PG

=（-

3

2

，-

3

2

，

3

）

BG

=（

3

2

，-

5

2

，

3

）

∵

AG

•

PG

=0，

AG

•

BP

=0．
∴

BP

是平面APG的法向量．
设

n

=（x，y，1）是平面ABG的法向量，
由

n

•

AG

=0，

n

•

AB

=0，
解得

n

=（-2，0，1）分
cosθ=

BP • n

| n || BP |

=

-2 3

2 5

=-

15

5

．
所以二面角二面角P-AG-B的平面角的余弦值

15

5

点评：本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、余弦定理等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力