Question

20．已知单位向量$\overrightarrow{e}$与向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$|，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{e}$）=0，对每一个确定的向量$\overrightarrow{a}$，都有与其对应的向量$\overrightarrow{b}$满足以上条件，设M，m分别为|$\overrightarrow{b}$|的最大值和最小值，令t=M-m，则对任意的向量$\overrightarrow{a}$，实数t的取值范围是 （　　）

• A． [0，1]
• B． [0，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{e}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，C为AD的中点，即有$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{e}$，运用向量垂直的条件，结合圆的知识，可得M=OC+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|，m=OC-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|，再由三角形的三边关系，即可得到所求范围．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{e}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，C为AD的中点，
即有$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{e}$，
由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{e}$）=0，可得BA⊥DB，
即有B的轨迹为以AD的中点C为圆心，半径为$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|的圆，
即有M=OC+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|，m=OC-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|，
则t=M-m=|$\overrightarrow{a}$|，
由OAD中，2|$\overrightarrow{a}$|≥1，解得|$\overrightarrow{a}$|≥$\frac{1}{2}$，
即t≥$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查向量的三角形法则，考查点与圆的位置关系，及最值的求法，考查运算能力，属于中档题．