已知,函数,.
(1)若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直,求,的值;
(2)设,若对任意的,且,都有,求的取值范围.
(1),或;(2).
解析试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问,由于与在处的切线互相垂直,所以两条切线相互垂直,即斜率相乘得-1,对和求导,将1代入得到两切线的斜率,列出方程得出a的值;第二问,先将“对任意的,且,都有”转化为“对任意的,且,都有”,令,则原命题等价于在是增函数,对求导,判断导数的正负,决定函数的单调性.
(1),.
,.
依题意有,
可得,解得,或 . 6分
(2).
不妨设,
则等价于,
即.
设,
则对任意的,且,都有,
等价于在是增函数.
,
可得,
依题意有,对任意,有.
由,可得. 13分
考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=(x-a)(x-b)2,a,b是常数.
(1)若a≠b,求证:函数f(x)存在极大值和极小值;
(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1,x2,设点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).如果直线AB的斜率为-,求函数f(x)和f′(x)的公共递减区间的长度;
(3)若f(x)≥mxf′(x)对于一切x∈R恒成立,求实数m,a,b满足的条件.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(14分)(2011•天津)已知函数f(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,其中t∈R.
(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(其中),为f(x)的导函数.
(1)求证:曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0);
(2)若在区间中存在,使得,求的取值范围;
(3)若,试证明:对任意,恒成立.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.
(1)设a=2,求f(x)的单调区间;
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.
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