【题目】已知函数
（1）若函数
在点
处的切线方程为
，求
的值；
（2）若
，函数
在区间
内有唯一零点，求
的取值范围；
（3）若对任意的
，均有
，求
的取值范围．
【答案】（1）
，
；（2）
或
；（3）
.
【解析】
试题本题考查导数的运算，利用导数求切线方程、判断函数的单调性、求函数的最值等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.（1）先求导，将切点的横坐标代入到导数中，得到切线的斜率，结合已知切线的斜率可求出
的值，再由切点在切线上，可求出
即切点的纵坐标，然后代入
的解析式即可求出
的值；（2）先将
代入得到解析式，求导数，判断函数的单调性，因为在
有唯一的零点，所以
或
，所以解得或；（3）属于恒成立问题，通过分析题意，可以转化为
在
上的最大值与最小值之差
，因为
，所以讨论的正负来判断
的正负，当
时，为单调递增函数，所以
，当
时，需列表判断函数的单调性和极值来决定最值的位置，这种情况中还需要讨论
与1的大小.
试题解析：(1)，所以
，得
又
，所以
，得
（2）因为所以
，
当
时，
，当
时，
所以在
上单调递减，在
上单调递增
又
，可知在区间内有唯一零点等价于
或
得或
(3)若对任意的
，均有
，等价于在上的最大值与最小值之差
（ⅰ）当时，在上
，在上单调递增
由
，得
所以
（ⅱ）当时，由
得
由
得
或
所以
，同理
当
，即
时，
，与题设矛盾
当
，即
时，
恒成立
当
，即
时，恒成立
综上所述，的取值范围为.
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【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
过点
，其参数方程为
，(
为参数，
)，以坐标原点
为极点，以
轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线和曲线交于
两点，且
，求实数
的值.
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【题目】在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在
、
、
三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有_________（填具体数字）
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【题目】设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，上顶点为
，在
轴负半轴上有一点
，满足为线段
的中点，且
.
（1）求椭圆
的离心率；
（2）若过、、三点的圆与直线
相切，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为
的直线与椭圆交于
、
两点，在轴上是否存在点
使得以
、
为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出
的取值范围，若不存在，请说明理由.
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【题目】某公司生产一种新产品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图.
（1）用每组区间的中点值代表该组数据，估算这批产品的样本平均数
和样本方差的
；
（2）从指标值落在
的产品中随机抽取2件做进一步检测，设抽取的产品的指标在
的件数为
，求的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布
，
近似为样本平均值，
近似为样本方差，若产品质量指标值大于236.6，则产品不合格，该厂生产10万件该产品，求这批产品不合格的件数.
参考数据：
，
，
，
.
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