【题目】如图,在三棱锥中,
,
,
为
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)若点在棱
上,且二面角
为
,求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:(1)根据等腰三角形性质得PO垂直AC,再通过计算,根据勾股定理得PO垂直OB,最后根据线面垂直判定定理得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解出平面PAM一个法向量,利用向量数量积求出两个法向量夹角,根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程,解得M坐标,再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余得结果.
详解:(1)因为,
为
的中点,所以
,且
.
连结.因为
,所以
为等腰直角三角形,
且,
.
由知
.
由知
平面
.
(2)如图,以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系
.
由已知得取平面
的法向量
.
设,则
.
设平面的法向量为
.
由得
,可取
,
所以.由已知得
.
所以.解得
(舍去),
.
所以.又
,所以
.
所以与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】下列说法中错误的是( )
A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变
B.设有一个线性回归方程,变量x增加1个单位时,y平均增加5个单位
C.设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则越接近于0,x和y之间的线性相关程度越强
D.在一个列联表中,由计算得
的值,则
的值越大,判断两个变量间有关联的把握就越大
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【题目】如图,在四棱锥中,平面ABCD平面PAD,
,
,
,
,E是PD的中点.
证明:
;
设
,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和
,现安排甲组研发新产品
,乙组研发新产品
.设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品研发成功,预计企业可获得
万元,若新产品
研发成功,预计企业可获得利润
万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
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【题目】某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数
之间的关系,经过调查得出了如下数据:
间隔时间( | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等待人数( | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这六组数据中选取四组数据作线性回归分析,然后用剩下的两组数据进行检验
(1)求从这六组数据中选取四组数据后,剩下的的两组数据不相邻的概率:
(2)若先取的是后面四组数据,求关干
的线性回归方程
;
(3)规定根据(2)中线性回归方程预利的数据与用剩下的两组实际数据相差不超过人,则所求出的线性回归方程是“最佳回归方程”,请判断(2)中所求的是 “最佳回归方程”吗?为了使等候的乘客不超过
人,则间隔时间设置为
分钟合适吗?
附:对于一组组数据, 其回归直线
+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
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【题目】袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。利用电脑随机产生到
之间取整数值的随机数,分别用
,
,
,
代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下
组随机数:
由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求
的分布列和数学期望.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=
(
>0),过点
的直线
的参数方程为
(t为参数),直线
与曲线C相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求
的值.
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若,解不等式
;
(Ⅱ)设是函数
的四个不同的零点,问是否存在实数
,使得其中三个零点成等差数列?若存在,求出所有
的值;若不存在,说明理由.
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