【题目】在平面直角坐标系中,曲线
过点
,其参数方程为
,(
为参数,
),以坐标原点
为极点,以
轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若曲线和曲线
交于
两点,且
,求实数
的值.
【答案】(1);
(2)
【解析】
(1)根据参数方程消去参数直接写出
的普通方程,利用
将
的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)方法①:将的参数方程代入到
的直角坐标方程,根据
的几何意义结合条件等式求解出
的值;
方法②:将的普通方程代入
的直角坐标方程,根据韦达定理结合条件等式计算出
的值即可.
(1)因为参数方程为
,所以
普通方程为:
,
因为的极坐标方程为
,所以
的直角坐标方程为
;
(2)方法①:将曲线的参数方程化为
(
为参数,
),
代入曲线得方程
,
由得
,
设点对应的参数分别为
,则
把上式代入
,
化简得,解得
或
,
而,故
为所求;
方法②:将曲线代入曲线
得方程
,
由得
,
设方程的两个根分别为,不妨设
,则
,
,
由题意得,即
,
把,
代入
,
所以,
化简得,解得
,此为所求.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD(C、D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;
(3)对规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P、Q两点间的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂生产的产品中分正品与次品,正品重,次品重
,现有5袋产品(每袋装有10个产品),已知其中有且只有一袋次品(10个产品均为次品)如果将5袋产品以1~5编号,第
袋取出
个产品(
),并将取出的产品一起用秤(可以称出物体重量的工具)称出其重量
,若次品所在的袋子的编号是2,此时的重量
_________
;若次品所在的袋子的编号是
,此时的重量
_______
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如表是我国2012年至2018年国内生产总值(单位:万亿美元)的数据:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
国内生产总值 (单位:万亿美元) | 8.5 | 9.6 | 10.4 | 11 | 11.1 | 12.1 | 13.6 |
(1)从表中数据可知和
线性相关性较强,求出以
为解释变量
为预报变量的线性回归方程;
(2)已知美国2018年的国内生产总值约为20.5万亿美元,用(1)的结论,求出我国最早在那个年份才能赶上美国2018年的国内生产总值?
参考数据:,
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“科技引领,布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量。年,某企业连续
年累计研发投入搭
亿元,我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比,这
年间的研发投入(单位:十亿元)用右图中的折现图表示,根据折线图和条形图,下列结论错误的使( )
A. 年至
年研发投入占营收比增量相比
年至
年增量大
B. 年至
年研发投入增量相比
年至
年增量小
C. 该企业连续年研发投入逐年增加
D. 该企业来连续年来研发投入占营收比逐年增加
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