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    【题目】在四棱锥中，底面为正方形，.

    （1）证明：面⊥面；

    （2）若与底面所成的角为， ，求二面角的余弦值．

    【答案】（1）见解析；（2）

    【解析】

    （1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC与BD交点为O，则PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可证得结论．

    （2）由线面角的定义可得，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC和面DPC的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．

    （1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴

    ∵，,∴,又∵,∴

    又,∴.

    （2）∵，过点P做,垂足为E

    ∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,

    又，设,则

    如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系

    设面法向量为，

    ,∴，

    ，∴

    同理的法向量，

    ∴求二面角的余弦值

    练习册系列答案
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