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已知函数是奇函数,且满足

(Ⅰ)求实数的值;

(Ⅱ)试证明函数在区间单调递减,在区间单调递增;

(Ⅲ)是否存在实数同时满足以下两个条件:1不等式恒成立; 2方程上有解.若存在,试求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.

 

【答案】

(Ⅰ) 由,解得

为奇函数,得恒成立,

,所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.              

任取,且

,∴

所以,函数在区间单调递减.     

类似地,可证在区间单调递增. 

(Ⅲ)对于条件1:由(Ⅱ)可知函数上有最小值

故若恒成立,则需,则

对于条件2:由(Ⅱ)可知函数单调递增,在单调递减,

∴函数单调递增,在单调递减,又,所以函数上的值域为

若方程有解,则需

若同时满足条件1.2,则需,所以 

答:当时,条件1.2同时满足.

【解析】略

 

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