Question

在△ABC中，∠A=60°，M是AB的中点，若|AB|=2，|BC|=2

3

，D在线段AC上运动，则下面结论正确的是

①②④

．
①△ABC是直角三角形；   
②

DB

•

DM

的最小值为

23

16

；
③

DB

•

DM

的最大值为2；   
④存在λ∈[0，1]使得

BD

=λ

BA

+（1-λ）

BC

．

Answer 1

分析：①根据余弦定理②③④

解答：解：①设|AC|=x，则由余弦定理得（2

3

）=2²+x²-2×2xcos60°，
即12=4+x²-2x，
∴x²-2x-8=0，解得x=4或x=-2（舍去），
∴|AC|=4，∴∠B=90°，即①△ABC是直角三角形，∴①正确．
②将直角三角形ABC放入坐标系中，
则B（0，0），A（0，2），M（0，1），C（2

3

，0），
则

AC

=(2

3

，-2)，
设

AD

=m

AC

=(2

3

m，-2m)，0≤m≤1，设D（x，y），
则（x，y-2）=（2

3

m，-2m），
解得x=2

3

m，y=2-2m，
即D（2

3

m，2-2m）．
则

DB

=(-2

3

m，2m-2)，

DM

=(-2

3

m，2m-1)，
∴

DB

•

DM

=（-2

3

m）²+（2m-2）（2m-1）=16m²-6m+2=16（m-

3

16

） 2+

23

16

，
∴当m=

3

16

时，

DB

•

DM

的最小值为

23

16

，∴②正确．
③由②知

DB

•

DM

=）=16m²-6m+2=16（m-

3

16

） 2+

23

16

，
∵0≤m≤1，∴当m=1时，

DB

•

DM

的最大值为16-6+2=12，∴③错误．
④∵

BD

=(2

3

m，2-2m)，

BA

=（0，2），

BC

=（2

3

，0），
若

BD

=λ

BA

+（1-λ）

BC

．
则（2

3

m，2-2m）=λ（0，2）+（1-λ）（2

3

，0），
即

2 3 m=(1-λ)•2 3 2-2m=2λ

，
解得

m=1-λ 1-m=λ

，此时λ=1-m，
∵0≤m≤1，
∴0≤λ≤1，
即存在λ∈[0，1]使得

BD

=λ

BA

+（1-λ）

BC

．
∴④正确．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查余弦定理的应用，以及数量积的应用，根据条件将三角形放入平面直角坐标系中，利用坐标法进行求解是解决本题的关键．