Question

19．若椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的任意一点P到右焦点F的距离|PF|均满足|PF|²-2a|PF|+c²≤0，则该椭圆的离心率e的取值范围为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意可知：|PF|²-2a|PF|+c²≤0，即|PF|²-2a|PF|+a²-b²≤0，解得：a-b≤|PF|≤a+b，由椭圆的图象可知：a-c≤丨PF丨≤a+c，列不等式组，即可求得c≤b，根据椭圆的性质求得a≥2$\sqrt{2}$c，由椭圆的离心率公式，可得e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由0≤e≤1，即可求得椭圆的离心率e的取值范围．

解答 解：由椭圆方程可得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得a²-b²=c²，
∵|PF|²-2a|PF|+c²≤0，
|PF|²-2a|PF|+a²-b²≤0，
∴a-b≤|PF|≤a+b，
而椭圆中，a-c≤丨PF丨≤a+c，
故$\left\{\begin{array}{l}a-c≥a-b\\ a+c≤a+b\end{array}$，
∴c≤b，
∴c²≤a²-c²，即2c²≤a²，
∴a≥2$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤e≤1，
∴e∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的简单几何性质，考查计算能力，属于中档题．