Question

下列命题：
（1）若函数f（x）=lg（x+），为奇函数，则a=1；
（2）函数f（x）=|sinx|的周期T=π；
（3）已知，其中θ∈（π，），则
（4）在△ABC中，=a，=b，若a•b＜0，则△ABC是钝角三角形
（ 5）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．
以上命题为真命题的是________．

Answer 1

解：若函数f（x）=lg（x+）为奇函数，
则f（0）=lg（0+）=lg=0，解得a=1，故（1）成立；
由正弦函数的图象知函数f（x）=|sinx|的周期T=π，故（2）成立；
∵，其中θ∈（π，），
∴=sinθ+=sinθ-sinθ=0，
∴，故（3）成立；
在△ABC中，=，=，•＜0，
则∠BAC是锐角，△ABC不一定是钝角三角形，故（4）不成立；
如图，

在△ABC中，由==2R（R为三角形ABC外接圆半径），
所以sinC=，sinB=，
所以=+λ（+）=+λ（+）=+2Rλ（+），
即=2Rλ（+），
所以直线AP一定通过△ABC的内心．故（5）正确．
故答案为：（1）（2）（3）（5）．
分析：（1）若函数f（x）=lg（x+）为奇函数，则f（0）=0，则此能求出a的值；
（2）由正弦函数的图象知函数能求出f（x）的周期；
（3）写出两个向量的数量积，运用同角三角函数的基本关系式整理即可得到结论；
（4）在△ABC中，=，=，•＜0，则∠BAC是锐角，由此无法判断△ABC一定是钝角三角形；
（5）把给出等式中的角的正弦值用对应边长和外接圆半径表示，移向整理后得=2Rλ（+），由此式可知直线AP一定通过△ABC的内心．
点评：本题考查了命题的真假的判断与运用，是中档题．解题时要认真审题，注意奇函数、向量的数量积、三角函数、正弦定理等知识点的合理运用．