Question

7．命题p：函数y=x²-4x+1在区间（-∞，a）上是减函数
命题q：函数y=log_（7-2a）x在（0，+∞）上是增函数．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：函数y=x²-4x+1=（x-2）²-3在区间（-∞，a）上是减函数，利用二次函数的单调性即可得出a的取值范围．命题q为真命题，利用对数函数的单调性即可得出取值范围．由p∨q为真命题，p∧q为减命题，可得p，q一真一假．

解答 解：对于命题p：函数y=x²-4x+1=（x-2）²-3在区间（-∞，a）上是减函数，命题p为真命题，则a≤2．
命题q为真命题，函数y=log_（7-2a）x在（0，+∞）上是增函数，则7-2a＞1，则a＜3．
∵p∨q为真命题，p∧q为减命题，∴p，q一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＜3}\end{array}\right.$，
解得a∈∅，或2＜a＜3．
由此可知，a的取值范围为（2，3）．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．