Question

19．已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0），动点P满足$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=2|$\overrightarrow{CP}$|²，则|2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{37}$-3
• B． $\sqrt{37}$+3
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{82}$

Answer 1

分析 设动点的坐标为P（x，y），求得2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$ 的坐标，可得|2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|=$\sqrt{36x-6y-26}$．结合（x-2）²+y²=1，则令x=2+cosθ，y=sinθ，化简36x-6y-26为 6$\sqrt{37}$cos（θ+φ）+46，利用余弦函数的值域求得它的最大值，可得结论．

解答 解：设动点的坐标为P（x，y），则$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1），$\overrightarrow{BP}$=（x，y+1），$\overrightarrow{PC}$=（1-x，-y）．
∵$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=2 ${|\overrightarrow{PC}|}^{2}$，∴x²+y²-1=2[（x-1）²+y²]，
∴x²+y²-4x+3=0，即：（x-2）²+y²=1．
∵2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$=2（x，y-1）+（x，y+1）=（3x，3y-1），
∴|2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|=$\sqrt{{9x}^{2}+{9y}^{2}-6y+1}$=$\sqrt{36x-6y-26}$．
又∵（x-2）²+y²=1，则令x=2+cosθ，y=sinθ，
于是有36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46
=6$\sqrt{37}$cos（θ+φ）+46∈[46-6$\sqrt{37}$，46+6$\sqrt{37}$]，
故|2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|的最大值为 $\sqrt{46+6\sqrt{37}}$=$\sqrt{37}$+3，
故选：B．

点评 本题主要考查两个向量的坐标形式的运算，两个向量的数量积的运算，属于中档题．