Question

已知函数f(x)＝sin²＋sin－.
(1)在△ABC中，若sin C＝2sin A，B为锐角且有f(B)＝，求角A，B，C；
(2)若f(x)(x＞0)的图象与直线y＝交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，求数列{x_n}的前2n项和，n∈N^*.

Answer 1

（1）（2）(2n²－n)π.

(1)因为f(x)＝＋sin －＝sin －cos ＝sin ＝sin x，
又因为f(B)＝，故sin B＝.又B为锐角，所以B＝.
由sin C＝2sin A，得c＝2a，所以b²＝a²＋4a²－2a·2acos ＝3a².所以c²＝a²＋b².所以△ABC为直角三角形，C＝，A＝－＝.
(2)由正弦曲线的对称性、周期性，可知
＝，＝2π＋，…，＝2(n－1)π＋，
所以x₁＋x₂＋…＋x_2n－1＋x_2n＝π＋5π＋9π＋…＋(4n－3)π＝nπ＋n(n－1)·4π＝(2n²－n)π.