Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，若a₁=2，S_n是数列{a_n}前n项的和，则

Sn+16

1 2 an+3

（n∈N^*）的最小值为（　　）

• A、4
• B、3
• C、2

  3

  -2
• D、

  9

  2

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由题意得（1+2d）²=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a_n}的通项公式，前n项和，从而可得

Sn+16

1 2 an+3

，换元，结合函数的单调性，即可求出函数的最小值．

解答： 解：∵a₁=2，a₁、a₃、a₁₃ 成等比数列，
∴（2+2d）²=2（2+12d）．
得d=4或d=0（舍去），
∴a_n =4n-2，
∴S_n=2n²，
∴

Sn+16

1 2 an+3

=

2n2+16

2n+2

．
令t=n+1，则

2Sn+16

an+3

=t+

9

t

-2≥6-2=4
当且仅当t=3，即n=2时，∴

2Sn+16

an+3

的最小值为4．
故选：A．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查函数的单调性，属于中档题．