Question

对于定义域为D的函数y=f（x）和常数c，若对任意正实数ξ，?x∈D，使得0＜|f（x）-c|＜ξ恒成立，则称函数y=f（x）为“敛c函数”，现给出如下函数：
①f（x）=x（x∈Z）；
②f（x）=（

1

2

）^x+2（x∈Z）；
③f（x）=log₂x+1；
④f（x）=

2x-1

2x

．
其中为“敛2函数”的有（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①②③
• D、②③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,进行简单的合情推理

专题：函数的性质及应用

分析：①对任意正实数ξ，不?x∈Z，使得0＜|x-2|＜ξ恒成立，例如：取ξ=

1

2

；
②对任意正实数ξ，?x∈Z且x＞log

1

2

ξ，使得0＜|(

1

2

)x+2-2|＜ξ恒成立；
③对任意正实数ξ，?x∈（0，+∞）且2^1-ξ＜x＜2^1-ξ（x≠2），使得0＜|log₂x+1-2|＜ξ恒成立；
④对任意正实数ξ，?x∈（-∞，0）∪（0，+∞）且x＜

-1

2+2ξ

，使得0＜|

2x-1

2x

-2|＜ξ恒成立．

解答： 解：①对任意正实数ξ，不?x∈Z，使得0＜|x-2|＜ξ恒成立，例如：取ξ=

1

2

，因此不是“敛2函数”；
②对任意正实数ξ，?x∈Z且x＞log

1

2

ξ，使得0＜|(

1

2

)x+2-2|＜ξ恒成立，因此是“敛2函数”；
③对任意正实数ξ，?x∈（0，+∞）且2^1-ξ＜x＜2^1-ξ（x≠2），使得0＜|log₂x+1-2|＜ξ恒成立，因此是“敛2函数”；
④对任意正实数ξ，?x∈（-∞，0）∪（0，+∞）且x＜

-1

2+2ξ

，使得0＜|

2x-1

2x

-2|＜ξ恒成立，因此是“敛2函数”．
综上可知：只有②③④是“敛2函数”．
故选：D．

点评：本题考查了新定义“敛c函数”、极限的定义，考查了推理能力和计算能力，属于难题．