Question

设函数f（x）在区间（a，b）的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数记为f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知函数f（x）=

1

6

x⁴-

1

3

mx³-4x²+2，且当实数m满足|m|＜3时，函数f（x）在区间（a-b，a+b）为“凸函数”，则a²+（b-3）²的最小值为（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据“凸函数”的定义，求出对应的求解，利用线性规划的应用即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=

1

6

x⁴-

1

3

mx³-4x²+2，
∴f′（x）=4×

1

6

x³-mx²-8x，
f″（x）=2x²-2mx-8，
当|m|＜3时，f″（x）=2x²-2mx-8＜0恒成立，
即x²-mx-4＜0恒成立，
?当-3＜m＜3时，g（m）=-xm+x²-4＜0恒成立，
即

g(3)≤0 g(-3)≤0

，

-3x+x2-4≤0 3x+x2-4≤0

，
即

-1＜x＜4 -4＜x＜1

，解得-1＜x＜1．
则（a-b，a+b）⊆（-1，1），
即

a+b≤1 a-b≥-1 a-b＜a+b

，作出不等式组对应的平面区域如图：
a²+（b-3）²的几何意义是动点P（a，b）到定点D（0，3）的距离的平方，由图象可知，当P位于A（0，1）时，
a²+（b-3）²的最小值为0²+（1-3）²=4，
故选：B．

点评：本题主要考查新定义的应用，利用导数结合二次函数，线性规划以及距离公式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．