Question

已知函数f（n）=log_（n+1）（n+2）（n为正整数），若存在正整数k满足：f（1）•f（2）…f（n）=k，那么我们称k为“好整数”．当n∈[1，2013]时，则所有符合条件的“好整数”之和为

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意k=f（1）f（2）f（3）…f（x）=log₂（x+2），“好整数”有log₂4，log₂8，log₂16，log₂32，log₂64，log₂128，由此能求出结果．

解答： 解：由题意，f（x）=log_（x+1） （x+2）=

lg(x+2)

lg(x+1)

，
所以k=f（1）f（2）f（3）…f（x）=log₂（x+2）
∵1≤x≤2013，∴log₂3≤log₂（x+2）≤log₂2013，
“好整数”有log₂4，log₂8，log₂16，log₂32，log₂64，log₂128，
log₂256，log₂512，log₂1024，
即2，3，4 5，6，7，8，9，10九个整数，
2+3+4+5+6+7+8+9+10=54．
故答案为：54．

点评：本题考查符合条件的“好整数”之和的求法，是基础题，解题时注意对数的性质的合理运用．