Question

已知数列{a_n}是等比数列，且a₂＞a₃=1，（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）＞0，则正整数n的最大值是

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：先确定q的范围，可得到当n＞3时，n＞3时，有a_n-

1

an

＜0，再用q表示出a₁，…，a₅，进而得到（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+（a₄-

1

a4

+（a₅-

1

a5

）=0，即可得出结论．

解答： 解：设公比为q，a₂＞a₃=1，则有1＞q＞0
可知n＞3时，有a_n-

1

an

＜0
a₃=a₁q²=1得a₁=

1

q2

则有a₅=a₁q⁴=q²=

1

a1

，同理有a₂=

1

a4

得（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+（a₄-

1

a4

+（a₅-

1

a5

）=0
∴不等式（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）＞0成立的最大自然数n等于6
故答案为6．

点评：本题主要考查等比数列的基本性质．考查运算能力和递推关系．