Question

下列四个命题
①已知函数f（x+1）=x²，则f（e）=（e-1）²；
②函数f（x）的值域为（-2，2），则函数f（x+2）的值域为（-4，0）；
③函数y=2x（x∈N）的图象是一直线；
④已知f（x）、g（x）是定义在R上的两个函数，对任意x、y∈R满足关系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0时f（x）•g（x）≠0则函数f（x）、g（x）都是奇函数．
其中错误的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数解析式的求解及常用方法,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：①利用赋值法，令x+1=e，则f（e）=（e-1）²，故可判断
②函数f（x+2）看作f（x）向左平移2个单位得到的，图象上下没有平移，所以值域不变，即可判断．
③中函数的图象是孤立的点即可判断
④分别判断f（x），g（x）的奇偶性，即可判断．

解答： 解：对于①已知函数f（x+1）=x²，令x+1=e，则f（e）=（e-1）²，故正确．
对于②函数f（x）的值域为（-2，2），函数f（x+2）看作f（x）向左平移2个单位得到的，图象上下没有平移，值域是函数值的取值范围，所以值域不变．故错误．
对于③函数y=2x（x∈N）的图象是一些孤立的点，故错误，
对于④令x=0，有f（-y）+f（y）=0，f（-y）=-f（y）函数f（x）是奇函数，
∵x≠0时，f（x）•g（x）≠0，
∴g（-y）=

f(x+y)+f(x-y)

2f(x)

=g（y），
∴函数g（x）是偶函数，故错误．
故答案为：②③④．

点评：考查抽象函数及其应用，解决抽象函数的问题一般应用赋值法，难点在于综合考察函数的单调性，奇偶性，值域，属于中档题．