Question

设实数x、y满足

x-4y+4≥0 2x-3y-2≤0

（x≥0，y≥0），若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则log₂（

1

a

+

2

b

）的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，即可得到结论．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-

a

b

x+

z

b

的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当y=-

a

b

x+

z

b

经过点B时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由

x-4y+4=0 2x-3y-2=0

，解得

x=4 y=2

，即B（4，2）．
此时z=4a+2b=1，
则

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（4a+2b）=4+4+

2b

a

+

8a

b

≥8+2

2b a • 8a b

=8+8=16，
当且仅当

2b

a

=

8a

b

，即b=2a=

1

4

时取=号，
即

1

a

+

2

b

的最小值为 16，
则log₂（

1

a

+

2

b

）的最小值为log₂16=4，
故答案为：4

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用基本不等式求

1

a

+

2

b

的最小值．