Question

下列函数既是奇函数又是减函数的是（　　）

• A、f（x）=x³
• B、f（x）=sinx
• C、f（x）=

  lnx

  x

• D、f（x）=-x|x|

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先分别求出函数的定义域，如果共有原点对称，再利用奇偶函数的定义判断f（-x）与f（x）的关系．

解答： 解：对于A，函数的定义域为R，并且f′（x）=3x²≥0，所以此函数是奇函数，但是增函数；
对于B，定义域是R，并且sin（-x）=-sinx，是奇函数，但是周期函数，在R上不单调；
对于C，定义域是{x|x＞0}，关于原点不对称，所以是非奇非偶的函数；
对于D，定义域为R，f（-x）=x|x|=-f（x）所以是奇函数，并且f（x）=

-x2，x≥0 x2，x＜0

，结合二次函数可知此函数在R上是减函数．
故选：D．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断；如果函数的定义域关于原点不对称，那么此函数就是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，利用定义，判断f（-x）与f（x）的关系．