【题目】已知椭圆的两个焦点是
,
,且椭圆
经过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过椭圆的左焦点
且斜率为1的直线
与椭圆
交于
两点,求线段
的长.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)椭圆的两个焦点是
,
,可得
,椭圆
经过点
可得
,从而可得椭圆
的标准方程;(2)直线
的方程为
,
代入方程并整理,得
,利用韦达定理和弦长公式计算弦长.
试题解析:(1)由已知得,椭圆的焦点在
轴上.
可设椭圆的方程为
,
点是椭圆
短轴的一个顶点,可得
,
由题意可知,则有
,
故椭圆的标准方程为
.
(2)由已知得,直线的方程为
,
代入方程并整理,得
.
设,则
,
则
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以、韦达定理及弦长公式,属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在
轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程
或
;③找关系:根据已知条件,建立关于
、
、
的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的倾斜角;
(2)设点,
和
交于
两点,求
.
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【题目】过椭圆:
上一点
向
轴作垂线,垂足为右焦点
,
、
分别为椭圆
的左顶点和上顶点,且
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动直线与椭圆
交于
、
两点,且以
为直径的圆恒过坐标原点
.问是否存在一个定圆与动直线
总相切.若存在,求出该定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知点,点
是直线
上的动点,过
作直线
,
,线段
的垂直平分线与
交于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)若点是直线
上两个不同的点,且
的内切圆方程为
,直线
的斜率为
,求
的取值范围.
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【题目】海州市六一儿童节期间在妇女儿童活动中心举行小学生“海州杯”围棋比赛,规则如下:甲、乙两名选手比赛时,每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或赛满6局时比赛结束.设某校选手甲与另一选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为,且各局比赛胜负互不影响,已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
.
(1)求的值;
(2)设表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量
的分布列和数学期望
.
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【题目】已知函数,设
为曲线
在点
处的切线,其中
.
(Ⅰ)求直线的方程(用
表示);
(Ⅱ)求直线在
轴上的截距的取值范围;
(Ⅲ)设直线分别与曲线
和射线
(
)交于
,
两点,求
的最小值及此时
的值.
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【题目】在刚刚结束的五市联考中,某校对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀,成绩统计后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为
.
班级 | 优秀 | 非优秀 | 合计 |
甲班 | 18 | ||
乙班 | 43 | ||
合计 | 110 |
(1)请完成上面的列联表;
(2)请问:是否有的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”?
(3)用分层抽样的方法从甲、乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取5名学生进行调研,然后再从这5名学生中随机抽取2名学生进行谈话,求抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率.
参考公式: (其中
)
参考数据:
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