【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与
轴垂直,求
的值;
(Ⅱ)若函数有两个极值点,求
的取值范围;
(Ⅲ)证明:当时,
.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)
.(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导函数,利用函数在点
处的切线与
轴垂直,可得切线的斜率,从而可求
的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若函数
有两个极值点,则
,即
有两个不同的根,且
的值在根的左、右两侧符号相反.
令,讨论其性质即可得到
的取值范围;
(Ⅲ)令(
),则
,
.
令,讨论
的性质可得以
时,
,即
时,
.
试题解析:((Ⅰ)由得
.
因为曲线在点
处的切线与
轴垂直,
所以,解得
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若函数
有两个极值点,则
,即
有两个不同的根,且
的值在根的左、右两侧符号相反.
令,则
,
所以当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增.
又当时,
;
时,
;
时,
;
时,
,
所以.即所求实数
的取值范围是
.
(Ⅲ)证明:令(
),则
,
.
令,则
,
因为,所以
,
,
,
,
所以,即
在
时单调递增,
又,所以
时,
,即函数
在
时单调递增.
所以时,
,即
时,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为了解用户对其产品的满意度,从两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到
地区用户满意度评分的频率分布直方图和
地区用户满意度评分的频数分布表.
地区用户满意度评分的频率分布直方图
地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 | |||||
频数 | 2 | 8 | 14 | 10 | 6 |
(1)在答题卡上作出地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直角梯形中,
是边长为2的等边三角形,
.沿
将
折起,使
至
处,且
;然后再将
沿
折起,使
至
处,且面
面
,
和
在面
的同侧.
(Ⅰ) 求证:平面
;
(Ⅱ) 求平面与平面
所构成的锐二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出该产品获利润500元,未售出的产品,每
亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了
该农产品.以
(
)表示下一个销售季度内的市场需求量,
(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(Ⅰ)将表示为
的函数;
(Ⅱ)根据直方图估计利润不少于57000元的概率.
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【题目】2017年“一带一路”国际合作高峰论坛于今年5月14日至15日在北京举行.为高标准完成高峰论坛会议期间的志愿服务工作,将从27所北京高校招募大学生志愿者,某调查机构从是否有意愿做志愿者在某高校访问了80人,经过统计,得到如下丢失数据的列联表:(,表示丢失的数据)
无意愿 | 有意愿 | 总计 | |
男 | 40 | ||
女 | 5 | ||
总计 | 25 | 80 |
(1)求出的值,并判断:能否有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关;
(2)若表中无意愿做志愿者的5个女同学中,3个是大学三年级同学,2个是大学四年级同学.现从这5个同学中随机选2同学进行进一步调查,求这2个同学是同年级的概率.
附参考公式及数据: ,其中
.
0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】语文成绩服从正态分布,数学成绩的频率分布直方图如下:
(Ⅰ)如果成绩大于135的为特别优秀,这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人?(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)
(Ⅱ)如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人,从(Ⅰ)中的这些同学中随机抽取3人,设三人中两科都特别优秀的有人,求
的分布列和数学期望.
(附参考公式)若,则
,
.
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【题目】“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的
城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图如图:
(Ⅰ)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小(不要求具体解答过程,给出结论即可);
(Ⅱ)若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认同”,请根据此样本完成此列联表,并局此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关;
(Ⅲ)若此样本中的城市和
城市各抽取1人,则在此2人中恰有一人认可的条件下,此人来自
城市的概率是多少?
合计 | |||
认可 | |||
不认可 | |||
合计 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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