Question

17．如果数列a₁，$\frac{a_2}{a_1}$，$\frac{a_3}{a_2}$，…，$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$，…是首项为1，公比为$\sqrt{2}$的等比数列，${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}$，n≥2，$\lim_{n→∞}（{b_2}+{b_3}…+{b_n}）$=4．

Answer 1

分析 运用等比数列的通项和恒等式a_n=a₁•$\frac{a_2}{a_1}$•$\frac{a_3}{a_2}$•…•$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$，化简整理，再由对数的运算性质和裂项相消求和，结合数列极限的性质，即可计算得到．

解答 解：由题意可得a_n=a₁•$\frac{a_2}{a_1}$•$\frac{a_3}{a_2}$•…•$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=1•$\sqrt{2}$•（$\sqrt{2}$）²•…•（$\sqrt{2}$）^n-1
=$（\sqrt{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}$=$\frac{1}{\frac{n（n-1）}{2}lo{g}_{2}\sqrt{2}}$=$\frac{4}{n（n-1）}$=4（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
即有$\lim_{n→∞}（{b_2}+{b_3}…+{b_n}）$=$\underset{lim}{n→∞}$4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$4（1-$\frac{1}{n}$）=4-4$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{n}$=4-0=4．
故答案为：4．

点评 本题考查等比数列的通项和数列恒等式的运用，同时考查数列求和的方法：裂项相消求和，考查数列极限的运算求解能力，属于中档题．