Question

2．已知函数f（x）=log₂（1-x）+log₂（1+x），g（x）=$\frac{1}{2}$-x²．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），求证：函数h（x）在（0，1）上有唯一零点．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的定义域，根据对数运算性质得出f（x）=log₂（1-x²），令1-x²=t，则f（x）=log₂t，求出t的范围，利用对数函数的单调性求出f（x）的值域；
（II）先证明g（x）为（0，1）上的单调函数，再利用零点的存在性定理进行判断即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）有意义得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（-1，1）．
∵f（x）=log₂（1-x）+log₂（1+x）=log₂（1-x²），
令t=1-x²，则f（x）=m（t）=log₂t，t∈（0，1]．
∵m（t）=log₂t在（0，1]上是增函数，m（1）=0，
∴f（x）的值域为（-∞，0]．
（Ⅱ）h（x）=log₂（1-x²）+$\frac{1}{2}$-x²，
先证明h（x）在（0，1）上为减函数，证明如下：
设x₁，x₂为（0，1）上的任意两个数，且x₁＜x₂，
则h（x₁）-h（x₂）=log₂（1-x₁²）-log₂（1-x₂²）+x₂²-x₁²
=log₂$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$+（x₂²-x₁²），
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴1-x₁²＞1-x₂²＞0，x₂²＞x₁²，
∴$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞1，x₂²-x₁²＞0，
∴log₂$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$+（x₂²-x₁²）＞0，即h（x₁）＞h（x₂），
∴h（x）在（0，1）上为减函数，
又h（0）=log₂1+$\frac{1}{2}$-0=$\frac{1}{2}$＞0，
h（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=log₂$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=-1＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上有唯一零点，即h（x）在（0，1）上有唯一零点．

点评 本题考查了对数函数的性质，函数单调性的判断与应用，属于中档题．