Question

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af′（x），当a=1时，求实数m的取值范围，使得g（m）-g（x）＜

1

m

，对任意x＞0恒成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：先化简求出g（x），在根据导数求出函数g（x）的最小值，而g（m）-g（x）＜

1

m

，对任意x＞0恒成立，转化为lnm＜g（x）恒成立，问题得以解决

解答： 解：∵f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af′（x），
∴g（x）=lnx+

a

x

，
∵a=1，
∴g（x）=lnx+

1

x

，
∴g′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
令g′（x）=0，解得x=1，
当g′（x）＞0，即x＞1时，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0，即0＜x＜1时，函数g（x）单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=1
∵g（m）-g（x）＜

1

m

，对任意x＞0恒成立，
∴lnm+

1

m

-

1

m

＜g（x），m＞0
∴lnm＜g（x）恒成立，
∴lnm＜1，
解得0＜m＜e，
∴数m的取值范围是（0，e）

点评：本题主要考查了利用导数求函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．