Question

8．如图，已知，AE是⊙O的直径，弦BC与AE相交于D，求证：tanB•tanC=$\frac{AD}{DE}$．

Answer 1

分析 连BE，CE 推出tan∠ABCtan∠ACB=$\frac{AC}{BE}×\frac{AB}{CE}$，利用三角形相似证明tanB*tanC=$\frac{AD}{DE}$．

解答 证明：连BE，CE 因为∠ABC=∠AEC，
所以tan∠ABC=tan∠AEC=$\frac{AC}{CE}$，
同理，tan∠ACB=tan∠AEB=$\frac{AB}{BE}$，
所以tan∠ABCtan∠ACB=tan∠AECtan∠AEB=$\frac{AC}{CE}×\frac{AB}{BE}$=$\frac{AC}{BE}×\frac{AB}{CE}$，
因为在圆中△ACD∽△BED，得，$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BE}$，
同理△ABD∽△CED 所以$\frac{BD}{ED}=\frac{AB}{CE}$，
所以$\frac{AC}{BE}×\frac{AB}{CE}$=$\frac{AD}{BD}×\frac{BD}{ED}=\frac{AD}{ED}$，
即tanB*tanC=$\frac{AD}{DE}$．

点评 本题考查三角形的相似的判断与应用，考查逻辑推理能力．