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函数,其中为实常数。

1)讨论的单调性;

2)不等式上恒成立,求实数的取值范围;

3)若,设。是否存在实常数,既使又使对一切恒成立?若存在,试找出的一个值,并证明;若不存在,说明理由.

 

1时,增区间为,无减区间;时,增区间为,减区间为2;(3存在,如等,证明见详解.

【解析】

试题分析:(1)首先求导函数,然后对参数进行分类讨论的单调性;(2)根据函数的解析式可将问题转化为的最大值,再利用导数研究函数单调性来确定其最值;(3)假设存在,将问题转化为证明:成立,然后可考虑综合法与分析法进行证明.

试题解析:1)定义域为

①当时,在定义域上单增;

②当时,当时,单增;时,单减.

增区间:,减区间:

综上可知:当时,增区间,无减区间;时,增区间:,减区间:

2对任意恒成立

,令

上单增,

,故的取值范围为

3)存在,如等.下面证明:

成立.

①先证,注意

这只要证*)即可,

容易证明恒成立(这里证略),取即可得上式成立.

分别代入(*)式再相加即证:

于是

②再证

法一:

只须证,构造证明函数不等式:

时,上单调递减,

时,恒有,即恒成立.

,取,则有

分别代入上式再相加即证:

即证

法二:

故不等式成立.

(注意:此题也可用数学归纳法!).

考点:1、导数与单调性;2、分析法或综合法;3、分类讨论的思想;4、数列求和.

 

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