函数,其中为实常数。
(1)讨论的单调性;
(2)不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,设,。是否存在实常数,既使又使对一切恒成立?若存在,试找出的一个值,并证明;若不存在,说明理由.
(1)当时,增区间为,无减区间;当时,增区间为,减区间为;(2);(3)存在,如等,证明见详解.
【解析】
试题分析:(1)首先求导函数,然后对参数进行分类讨论的单调性;(2)根据函数的解析式可将问题转化为的最大值,再利用导数研究函数单调性来确定其最值;(3)假设存在,将问题转化为证明:及成立,然后可考虑综合法与分析法进行证明.
试题解析:(1)定义域为,
①当时,,在定义域上单增;
②当时,当时,,单增;当时,,单减.
增区间:,减区间:.
综上可知:当时,增区间,无减区间;当时,增区间:,减区间:.
(2)对任意恒成立
,令,
,在上单增,
,,故的取值范围为.
(3)存在,如等.下面证明:
及成立.
①先证,注意,
这只要证(*)即可,
容易证明对恒成立(这里证略),取即可得上式成立.
让分别代入(*)式再相加即证:,
于是.
②再证,
法一:
,
只须证,构造证明函数不等式:,
令,,
当时,在上单调递减,
又当时,恒有,即恒成立.
,取,则有,
让分别代入上式再相加即证:
,
即证.
法二:,
,
又故不等式成立.
(注意:此题也可用数学归纳法!).
考点:1、导数与单调性;2、分析法或综合法;3、分类讨论的思想;4、数列求和.
科目:高中数学 来源:2016届北京市海淀区高一上学期期末统考数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知函数,则下列说法中正确的是( )
A.若,则恒成立
B.若恒成立,则
C.若,则关于的方程有解
D.若关于的方程有解,则
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科目:高中数学 来源:2016届上海浦东新区高一第一学期期末质量测试数学试卷(解析版) 题型:填空题
关于x的方程在上有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是___________.
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科目:高中数学 来源:2016届上海浦东新区高一第一学期期末质量测试数学试卷(解析版) 题型:填空题
某班共30人,其中有15人喜爱篮球运动,有10人喜爱兵乓球运动,有3人对篮球和兵乓球两种运动都喜爱,则该班对篮球和乒乓球运动都不喜爱的人数有___________.
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科目:高中数学 来源:2015届重庆市高二上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知一条曲线在轴右侧,上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是1.
(1)求曲线的方程;
(2)设直线交曲线于两点,线段的中点为,求直线的一般式方程.
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科目:高中数学 来源:2015届重庆市高二上学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:填空题
若在不等式组所确定的平面区域内任取一点,则点的坐标满足的概率是_____________.
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